W jaki sposób pomiar stanu kwantowego za pomocą obserwowalnego odnosi się do wektorów własnych i wartości własnych?
Podczas pomiaru stanu kwantowego za pomocą obserwowalnego ważną rolę odgrywa koncepcja wektorów własnych i wartości własnych. W mechanice kwantowej obserwable są reprezentowane przez operatory hermitowskie, które są konstrukcjami matematycznymi odpowiadającymi wielkościom fizycznym, które można zmierzyć. Z operatorami tymi związany jest zbiór wartości własnych i wektorów własnych.
Wektor własny obiektu obserwowalnego to stan kwantowy, który po zmierzeniu przedmiotu obserwowalnego da określoną wartość odpowiedniej wielkości fizycznej. Innymi słowy, pomiar obserwowalnego na wektorze własnym zawsze da określoną wartość własną. Matematycznie można to wyrazić równaniem:
ZA |ψ⟩ = za |ψ⟩
gdzie A jest obserwowalnym, |ψ⟩ jest wektorem własnym, a jest odpowiednią wartością własną, a symbol |…⟩ reprezentuje stan kwantowy.
Wartość własna a reprezentuje możliwe wyniki pomiaru obserwowalnego A. Każdy wektor własny |ψ⟩ odpowiada innej wartości własnej a. Zbiór wszystkich możliwych wartości własnych obserwowalnego jest znany jako widmo obserwowalnego.
Aby zmierzyć stan kwantowy za pomocą elementu obserwowalnego, musimy przygotować układ w superpozycji jego możliwych wektorów własnych. Można to osiągnąć, stosując transformację jednostkową do systemu. Wynikowy stan będzie liniową kombinacją wektorów własnych ze złożonymi współczynnikami znanymi jako amplitudy prawdopodobieństwa.
Po wykonaniu pomiaru system zapada się w jeden z wektorów własnych z prawdopodobieństwem określonym przez kwadrat wielkości odpowiedniej amplitudy prawdopodobieństwa. Wynikiem pomiaru będzie wartość własna powiązana z wektorem własnym.
Weźmy na przykład obserwowalność odpowiadającą położeniu cząstki w jednym wymiarze. Wektorami własnymi tego obserwowalnego są stany własne pozycji, reprezentowane jako |x⟩, gdzie x jest określoną pozycją wzdłuż wymiaru. Wartości własne to możliwe pozycje, które cząstka może zajmować.
Jeśli przygotujemy cząstkę w superpozycji stanów własnych pozycji, takich jak (|x1⟩ + |x2⟩)/√2 i zmierzymy obserwowalną pozycję, otrzymamy wynik pomiaru x1 lub x2, każdy z prawdopodobieństwem 1/2.
Podczas pomiaru stanu kwantowego za pomocą obserwowalnego wektory własne reprezentują możliwe wyniki pomiaru, podczas gdy wartości własne odpowiadają wartościom, które można uzyskać podczas pomiaru. Prawdopodobieństwo uzyskania określonej wartości własnej jest określone przez kwadrat wielkości odpowiedniej amplitudy prawdopodobieństwa.
Inne niedawne pytania i odpowiedzi dotyczące Podstawy informacji kwantowych EITC/QI/QIF:
- Czy kwantowa transformacja Fouriera jest wykładniczo szybsza od klasycznej transformacji i czy to dlatego może ona umożliwić rozwiązanie trudnych problemów przez komputer kwantowy?
- Co to oznacza dla kubitów o stanie mieszanym znajdujących się pod powierzchnią sfery Blocha?
- Jaka jest historia eksperymentu z dwiema szczelinami i jaki ma on związek z rozwojem mechaniki falowej i mechaniki kwantowej?
- Czy amplitudy stanów kwantowych są zawsze liczbami rzeczywistymi?
- Jak działa kwantowa bramka negacji (kwantowa bramka NOT lub bramka Pauliego-X)?
- Dlaczego bramka Hadamarda jest samoodwracalna?
- Jeżeli zmierzysz pierwszy kubit stanu Bella w określonej bazie, a następnie zmierzysz drugi kubit w bazie obróconej o pewien kąt theta, to prawdopodobieństwo, że uzyskasz projekcję na odpowiadający jej wektor, jest równe kwadratowi sinusa theta?
- Ile bitów klasycznej informacji byłoby potrzebnych do opisania stanu dowolnej superpozycji kubitów?
- Ile wymiarów ma przestrzeń 3 kubitów?
- Czy pomiar kubitu zniszczy jego superpozycję kwantową?
Zobacz więcej pytań i odpowiedzi w EITC/QI/QIF Quantum Information Fundamentals