W dziedzinie informacji kwantowej koncepcja stanów kwantowych i związanych z nimi amplitud ma fundamentalne znaczenie. Aby odpowiedzieć na pytanie, czy amplituda stanu kwantowego musi być liczbą rzeczywistą, konieczne jest rozważenie formalizmu matematycznego mechaniki kwantowej i zasad rządzących stanami kwantowymi.
Mechanika kwantowa reprezentuje stan układu kwantowego za pomocą obiektu matematycznego znanego jako funkcja falowa lub wektor stanu, zwykle oznaczanego przez ( psi ) (psi) lub ( ket{psi} ) w notacji Diraca. Ten wektor stanu znajduje się w złożonej przestrzeni wektorowej zwanej przestrzenią Hilberta. Elementy tej przestrzeni, wektory stanu, są na ogół funkcjami o wartościach zespolonych.
Amplituda stanu kwantowego odnosi się do współczynników pojawiających się w rozwinięciu wektora stanu w odniesieniu do wybranej podstawy. Dla układu kwantowego opisanego wektorem stanu ( ket{psi} ), jeśli wyrazimy ten stan w postaci bazy ( { ket{phi_i} } ), otrzymamy:
[ ket{psi} = suma_i c_i ket{phi_i} ]Tutaj ( c_i ) to złożone amplitudy powiązane ze stanami bazowymi ( ket{phi_i} ). Te amplitudy ( c_i ) są na ogół liczbami zespolonymi. Jest to bezpośrednia konsekwencja wymagania, aby wewnętrzna przestrzeń produktu była kompletna i uwzględniała zasady kwantowej superpozycji i interferencji.
Złożony charakter amplitud jest ważny z kilku powodów:
1. Zasada superpozycji: Mechanika kwantowa pozwala na superpozycję stanów. Jeśli ( ket{psi_1} ) i ( ket{psi_2} ) są dwoma poprawnymi stanami kwantowymi, to dowolna kombinacja liniowa ( alfa ket{psi_1} + beta ket{psi_2} ), gdzie ( alfa ) i ( beta ) są liczbami zespolonymi, jest również prawidłowym stanem kwantowym. Współczynniki zespolone (alfa) i (beta) reprezentują amplitudy odpowiednich stanów w superpozycji.
2. Interpretacja prawdopodobieństwa: Prawdopodobieństwo pomiaru określonego wyniku w układzie kwantowym jest określone przez kwadrat modułu amplitudy. Jeżeli ( c_i ) jest amplitudą stanu ( ket{phi_i} ), prawdopodobieństwo ( P_i ) pomiaru stanu ( ket{phi_i} ) wyraża się wzorem:
[ P_i = |c_i|^2 = c_i^* c_i ]gdzie ( c_i^* ) jest złożonym koniugatem ( c_i ). Prawdopodobieństwo to musi być liczbą rzeczywistą z zakresu od 0 do 1, ale sama amplituda ( c_i ) może być złożona.
3. Efekty zakłóceń: Złożona natura amplitud jest niezbędna do opisu zjawisk interferencyjnych. Kiedy dwie lub więcej ścieżek kwantowych zakłócają się, uzyskana amplituda jest sumą poszczególnych amplitud, a różnica faz między tymi złożonymi amplitudami prowadzi do konstruktywnej lub destruktywnej interferencji. Jest to podstawowy aspekt zjawisk takich jak eksperyment z podwójną szczeliną.
4. Jednolita ewolucja: Ewolucją stanu kwantowego w czasie rządzi równanie Schrödingera, które uwzględnia operator Hamiltona. Rozwiązaniem tego równania są na ogół funkcje złożone. Operatory unitarne opisujące ewolucję zachowują normę wektora stanu, ale mogą zmieniać jego fazę, co wymaga, aby amplitudy były złożone.
Aby zilustrować te punkty, rozważmy prosty przykład kubitu, podstawowej jednostki informacji kwantowej. Kubit może znajdować się w superpozycji stanów bazowych ( ket{0} ) i ( ket{1} ):
[ ket{psi} = alfa ket{0} + beta ket{1} ]Tutaj ( alfa ) i ( beta ) są liczbami zespolonymi takimi, że ( |alfa|^2 + |beta|^2 = 1 ). Ten warunek normalizacji zapewnia, że całkowite prawdopodobieństwo znalezienia kubitu w dowolnym stanie ( ket{0} ) lub ( ket{1} ) wynosi 1. Złożona natura ( alfa ) i ( beta ) pozwala na bogatą strukturę stanów kwantowych i jest niezbędny do zadań związanych z obliczeniami kwantowymi i przetwarzaniem informacji.
Rozważmy na przykład bramkę Hadamarda, podstawową bramkę kwantową używaną do tworzenia stanów superpozycji. Po zastosowaniu do stanu podstawowego ( ket{0} ) bramka Hadamarda generuje stan:
[ ket{+} = frac{1}{sqrt{2}} (ket{0} + ket{1}) ]Tutaj amplituda zarówno ( ket{0} ) jak i ( ket{1} ) wynosi ( frac{1}{sqrt{2}} ), co jest liczbą rzeczywistą. Jeśli jednak zastosujemy bramkę Hadamarda do stanu ( ket{1} ), otrzymamy:
[ ket{-} = frac{1}{sqrt{2}} (ket{0} – ket{1}) ]W tym przypadku amplituda dla ( ket{1} ) wynosi ( -frac{1}{sqrt{2}} ), co jest nadal rzeczywiste. Niemniej jednak rozważ bramkę fazową, która wprowadza złożony współczynnik fazowy. Bramka fazowa ( R(theta) ) działa na stan kubitu ( ket{psi} = alfa ket{0} + beta ket{1}) w następujący sposób:
[ R(theta) ket{psi} = alfa ket{0} + beta e^{itheta} ket{1} ]Tutaj ( e^{itheta} ) jest liczbą zespoloną o module jednostkowym. Operacja ta wyraźnie pokazuje, że amplituda stanu ( ket{1} ) może uzyskać złożony współczynnik fazowy, co podkreśla konieczność stosowania złożonych amplitud w mechanice kwantowej.
Ponadto rozważmy zjawisko splątania kwantowego, w którym stan jednej cząstki jest nierozerwalnie powiązany ze stanem drugiej, niezależnie od odległości między nimi. Stan splątany dwóch kubitów można przedstawić jako:
[ ket{psi} = frac{1}{sqrt{2}} (ket{00} + e^{iphi} ket{11}) ]Tutaj ( e^{iphi} ) jest złożonym współczynnikiem fazowym, pokazującym, że względna faza pomiędzy składnikami stanu splątanego jest ważna dla opisu właściwości splątania.
W obliczeniach kwantowych zastosowanie złożonych amplitud jest niezbędne do realizacji algorytmów kwantowych. Na przykład algorytm Shora do rozkładu na czynniki dużych liczb całkowitych i algorytm Grovera do wyszukiwania nieustrukturyzowanego opierają się na interferencji zespolonych amplitud, aby osiągnąć ich wykładnicze przyspieszenie w porównaniu z algorytmami klasycznymi.
Konieczność stosowania złożonych amplitud jest także widoczna w kontekście korekcji błędu kwantowego. Kwantowe kody korygujące błędy, takie jak kod Shor lub kod Steane'a, kodują kubity logiczne w splątane stany wielu kubitów fizycznych. Złożone amplitudy w tych kodach zapewniają wykrywanie i korygowanie błędów bez zapadania się informacji kwantowej.
Amplituda stanu kwantowego nie musi być liczbą rzeczywistą. Złożona natura amplitud kwantowych jest podstawowym aspektem mechaniki kwantowej, umożliwiającym opis superpozycji, interferencji i splątania. Stosowanie liczb zespolonych jest niezbędne dla matematycznej spójności teorii kwantowej i praktycznej realizacji zadań przetwarzania informacji kwantowej.
Inne niedawne pytania i odpowiedzi dotyczące Podstawy informacji kwantowych EITC/QI/QIF:
- Jak działa kwantowa bramka negacji (kwantowa bramka NOT lub bramka Pauliego-X)?
- Dlaczego bramka Hadamarda jest samoodwracalna?
- Jeśli zmierzysz pierwszy kubit stanu Bella w określonej podstawie, a następnie zmierzysz drugi kubit w podstawie obróconej o pewien kąt theta, prawdopodobieństwo, że otrzymasz rzut na odpowiedni wektor jest równe kwadratowi sinusa theta?
- Ile bitów klasycznej informacji byłoby potrzebnych do opisania stanu dowolnej superpozycji kubitów?
- Ile wymiarów ma przestrzeń 3 kubitów?
- Czy pomiar kubitu zniszczy jego superpozycję kwantową?
- Czy bramki kwantowe mogą mieć więcej wejść niż wyjść, podobnie jak bramki klasyczne?
- Czy do uniwersalnej rodziny bramek kwantowych zalicza się bramkę CNOT i bramkę Hadamarda?
- Co to jest eksperyment z podwójną szczeliną?
- Czy obracanie filtra polaryzacyjnego jest równoznaczne ze zmianą podstawy pomiaru polaryzacji fotonów?
Zobacz więcej pytań i odpowiedzi w EITC/QI/QIF Quantum Information Fundamentals