Ile wymiarów ma przestrzeń 3 kubitów?
W dziedzinie informacji kwantowej koncepcja kubitów odgrywa kluczową rolę w obliczeniach kwantowych i przetwarzaniu informacji kwantowych. Kubity to podstawowe jednostki informacji kwantowej, analogiczne do klasycznych bitów w klasycznym przetwarzaniu. Kubit może istnieć w superpozycji stanów, umożliwiając reprezentację złożonych informacji i umożliwiając operacje kwantowe przewyższające możliwości klasyczne.
Pytanie o to, ile wymiarów ma układ 3 kubitów, odnosi się do przestrzeni stanów kwantowych związanej z układem złożonym z trzech kubitów (przestrzeń Hadamarda). Aby lepiej to zrozumieć, musimy rozważyć ramy matematyczne opisujące stany kwantowe wielu kubitów. W mechanice kwantowej stan pojedynczego kubitu można przedstawić jako liniową kombinację stanów bazowych, zwykle oznaczanych jako |0⟩ i |1⟩. Te stany bazowe tworzą dwuwymiarową przestrzeń wektorów zespolonych znaną jako sfera Blocha. Jest to dwuwymiarowa, liniowa przestrzeń Hadamarda. Jednak przestrzeń Hadamarda (przestrzeń stanów układów kwantowych) jest zdefiniowana nad ciałem zespolonym, tj. kombinacje liniowe mają współczynniki zespolone. Każdy współczynnik zespolony można rozłożyć na część rzeczywistą i urojoną, tj. dwa współczynniki rzeczywiste, z których jeden jest mnożony przez liczbę urojoną i. Podwaja to liczbę wymiarów przestrzeni Hadamarda (na przykład dla kubitów mamy 2 wymiary zespolone, ale 4 wymiary rzeczywiste). Dodatkowo należy uwzględnić warunek normalizacji przestrzeni Hadamarda. Warunek ten stwierdza, że kwadraty współczynników modułu sumują się do 1. Jest to pojedyncze równanie na wartościach rzeczywistych, które eliminuje jeden stopień swobody rzeczywistej, pozostawiając stan przestrzeni kubitu z 3 wymiarami rzeczywistymi, uzasadniając reprezentację sferyczną Blocha (która odpowiada sferycznemu układowi odniesienia) w rzeczywistej przestrzeni 3-wymiarowej.
Kiedy weźmiemy pod uwagę system wielu kubitów, przestrzeń stanów rośnie wykładniczo wraz z liczbą kubitów. W przypadku układu n kubitów przestrzeń stanów jest 2^n-wymiarowa (ale pozostaje przestrzenią zespoloną, w przeliczeniu na wymiary rzeczywiste liczbę należy podwoić). W przypadku trzech kubitów przestrzeń stanów wynosi 2^3 = 8-wymiarowa (w wymiarach zespolonych lub 16-wymiarowa w wymiarach rzeczywistych). Jednakże należy ponownie przypomnieć, że przestrzeń stanów układu kwantowego podlega ograniczeniom ze względu na warunek normalizacji, który wymaga, aby suma kwadratów wielkości amplitud prawdopodobieństwa była równa jedności (co zmniejsza jeden wymiar rzeczywisty, co oznacza, że stan przestrzeni rzeczywistej układu trzech kubitów ma w rzeczywistości 15 rzeczywistych wymiarów).
W kontekście systemu trzech kubitów przestrzeń stanów jest rozpięta zbiorem bazowym składającym się z 8 stanów bazowych (lub innymi słowy stan systemu trzech kubitów jest liniową kombinacją tych 8 stanów bazowych z 8 zespolonymi współczynnikami) . Każdy stan bazowy odpowiada unikalnej kombinacji wartości binarnych trzech kubitów. Na przykład stany bazowe systemu trzech kubitów można oznaczyć jako |000⟩, |001⟩, |010⟩, |011⟩, |100⟩, |101⟩, |110⟩ i |111⟩. Te stany bazowe tworzą pełną podstawę ortonormalną dla 8-wymiarowej przestrzeni stanów układu trzech kubitów.
Wymiarowość przestrzeni stanów kwantowych jest ważna w przetwarzaniu informacji kwantowych, ponieważ określa złożoność i bogactwo operacji kwantowych, które można wykonać w systemie. Przestrzenie stanów o wyższych wymiarach umożliwiają reprezentację bardziej złożonych stanów kwantowych i ułatwiają implementację zaawansowanych algorytmów i protokołów kwantowych.
Układ 3 kubitów odpowiada 8-wymiarowej przestrzeni stanów (złożonej przestrzeni Hadamarda), gdzie każdy wymiar jest powiązany z odrębnym stanem kwantowym zdefiniowanym przez wartości binarne poszczególnych kubitów. Zrozumienie wymiarowości kwantowych przestrzeni stanów jest niezbędne do wykorzystania pełnego potencjału obliczeń kwantowych i kwantowego przetwarzania informacji.
Inne niedawne pytania i odpowiedzi dotyczące Podstawy informacji kwantowych EITC/QI/QIF:
- Czy kwantowa transformacja Fouriera jest wykładniczo szybsza od klasycznej transformacji i czy to dlatego może ona umożliwić rozwiązanie trudnych problemów przez komputer kwantowy?
- Co to oznacza dla kubitów o stanie mieszanym znajdujących się pod powierzchnią sfery Blocha?
- Jaka jest historia eksperymentu z dwiema szczelinami i jaki ma on związek z rozwojem mechaniki falowej i mechaniki kwantowej?
- Czy amplitudy stanów kwantowych są zawsze liczbami rzeczywistymi?
- Jak działa kwantowa bramka negacji (kwantowa bramka NOT lub bramka Pauliego-X)?
- Dlaczego bramka Hadamarda jest samoodwracalna?
- Jeżeli zmierzysz pierwszy kubit stanu Bella w określonej bazie, a następnie zmierzysz drugi kubit w bazie obróconej o pewien kąt theta, to prawdopodobieństwo, że uzyskasz projekcję na odpowiadający jej wektor, jest równe kwadratowi sinusa theta?
- Ile bitów klasycznej informacji byłoby potrzebnych do opisania stanu dowolnej superpozycji kubitów?
- Czy pomiar kubitu zniszczy jego superpozycję kwantową?
- Czy bramki kwantowe mogą mieć więcej wejść niż wyjść, podobnie jak bramki klasyczne?
Zobacz więcej pytań i odpowiedzi w EITC/QI/QIF Quantum Information Fundamentals