Klasa NP, oznaczająca niedeterministyczny czas wielomianowy, ma kluczowe znaczenie dla teorii złożoności obliczeniowej i obejmuje problemy decyzyjne, które mają weryfikatory czasu wielomianowego. Problem decyzyjny to taki, który wymaga odpowiedzi tak lub nie, a weryfikatorem w tym kontekście jest algorytm sprawdzający poprawność danego rozwiązania.
Ważne jest rozróżnienie między rozwiązaniem problemu (obliczenie) a weryfikacją rozwiązania (weryfikacja). W NP nacisk kładzie się na to, czy istnieje weryfikator czasu wielomianowego, który może potwierdzić poprawność rozwiązania.
Klasa P, reprezentująca czas wielomianowy, obejmuje problemy decyzyjne, które można rozwiązać za pomocą deterministycznej maszyny Turinga w czasie wielomianowym. Zatem dla każdego problemu w P istnieje nie tylko algorytm czasu wielomianowego służący do znalezienia rozwiązania, ale istnieje również algorytm czasu wielomianowego służący do weryfikacji rozwiązania.
Pozorna sprzeczność polega na obserwacji, że każdy problem w P, posiadający z natury algorytm rozwiązywania w czasie wielomianowym, posiada również weryfikator w czasie wielomianowym. Nie jest to jednak sprzeczne z definicją NP. Cechą definiującą NP jest istnienie weryfikatora czasu wielomianowego, niezależnie od tego, ile czasu może zająć znalezienie rozwiązania. Oznacza to, że wszystkie problemy w P są również w NP, ponieważ ich rozwiązania można zweryfikować w czasie wielomianowym.
Rozważmy na przykład problem testowania liczb pierwszych. Problem ten można ująć na dwa sposoby: generując liczby pierwsze i sprawdzając, czy dana liczba jest pierwsza. Sito Eratostenesa to algorytm służący do generowania wszystkich liczb pierwszych do pewnej granicy i robi to skutecznie, ale jego złożoność czasowa nie jest wielomianem w ścisłym tego słowa znaczeniu, stosowanym w teorii złożoności obliczeniowej; często jest oznaczana jako O(n log log n), co jest lepsze niż liniowy, ale nie ściśle wielomian zgodnie z definicją P. Z drugiej strony problem sprawdzenia, czy dana liczba jest pierwsza (testowanie liczb pierwszych) jest inne zadanie. Wydajne algorytmy, takie jak test pierwszości AKS, umożliwiają weryfikację liczb pierwszych w czasie wielomianowym. Dlatego problem testowania liczb pierwszych w kontekście weryfikacji należy do klasy P, a także NP, ponieważ rozwiązanie (niezależnie od tego, czy liczba jest pierwsza) można zweryfikować w czasie wielomianowym. Pokazuje to, że chociaż generowanie liczb pierwszych i testowanie liczb pierwszych są ze sobą powiązane, wymagają różnych rozważań pod względem złożoności obliczeniowej.
Podsumowując, definicja NP jako posiadającej weryfikatory w czasie wielomianowym jest zgodna z naturą P. Rozróżnienie to nie następuje na etapie weryfikacji, ale w procesie znajdowania rozwiązań: problemy P są rozwiązywalne i weryfikowalne w czasie wielomianowym, podczas gdy problemy NP można je zweryfikować w czasie wielomianowym, ale nie zawsze wiadomo, czy można je rozwiązać w czasie wielomianowym.
Inne niedawne pytania i odpowiedzi dotyczące Złożoność:
- Czy klasa PSPACE nie jest równa klasie EXPSPACE?
- Czy klasa złożoności P jest podzbiorem klasy PSPACE?
- Czy możemy udowodnić, że klasy Np i P są takie same, znajdując efektywne rozwiązanie wielomianowe dla dowolnego problemu zupełnego NP w deterministycznej TM?
- Czy klasa NP może być równa klasie EXPTIME?
- Czy w PSPACE występują problemy, dla których nie jest znany algorytm NP?
- Czy problem SAT może być problemem NP-zupełnym?
- Czy problem może należeć do klasy złożoności NP, jeśli istnieje niedeterministyczna maszyna Turinga, która rozwiąże go w czasie wielomianowym
- NP to klasa języków, które mają wielomianowe weryfikatory czasu
- Czy P i NP to w rzeczywistości ta sama klasa złożoności?
- Czy każdy język bezkontekstowy jest w klasie złożoności P?
Zobacz więcej pytań i odpowiedzi w sekcji Złożoność