Czy w PSPACE występują problemy, dla których nie jest znany algorytm NP?

/ / Opublikowano w Bezpieczeństwo cybernetyczne, Podstawy teorii złożoności obliczeniowej EITC/IS/CCTF, Złożoność, Przestrzenne klasy złożoności

W dziedzinie teorii złożoności obliczeniowej, szczególnie podczas badania klas złożoności przestrzennej, związek pomiędzy PSPACE i NP jest bardzo interesujący. Odnosząc się bezpośrednio do pytania: tak, w PSPACE występują problemy, dla których nie jest znany algorytm NP. Twierdzenie to jest zakorzenione w definicjach i relacjach między tymi klasami złożoności.

PSPACE to klasa problemów decyzyjnych, które można rozwiązać za pomocą maszyny Turinga przy użyciu wielomianowej ilości przestrzeni. Innymi słowy, problem występuje w PSPACE, jeśli istnieje algorytm, który może go rozwiązać przy użyciu ilości pamięci będącej wielomianem wielkości danych wejściowych. Klasa ta obejmuje szeroką gamę problemów, z których niektóre są dość złożone i wymagają skomplikowanych procesów obliczeniowych.

Z kolei NP to klasa problemów decyzyjnych, dla których zaproponowane rozwiązanie można zweryfikować w czasie wielomianowym za pomocą deterministycznej maszyny Turinga. Oznacza to, że jeśli ktoś poda Ci potencjalne rozwiązanie problemu w NP, możesz szybko sprawdzić poprawność tego rozwiązania, szczególnie w czasie wielomianowym względem wielkości wejściowej.

Związek między tymi dwiema klasami jest taki, że NP jest podzbiorem PSPACE. Dzieje się tak, ponieważ każdy problem, który można zweryfikować w czasie wielomianowym, można również rozwiązać w przestrzeni wielomianowej. Aby zrozumieć dlaczego, należy wziąć pod uwagę, że weryfikator czasu wielomianowego może odczytać tylko wielomianową liczbę bitów danych wejściowych i proponowanego rozwiązania. Dlatego można go symulować za pomocą maszyny wielomianowej, która śledzi odczytane pozycje i wykonane operacje.

Jednak nie wiadomo, czy jest odwrotnie; to znaczy nie wiadomo, czy PSPACE jest podzbiorem NP. W rzeczywistości powszechnie uważa się, że PSPACE zawiera problemy, których nie ma w NP, chociaż nie zostało to formalnie udowodnione. Przekonanie to opiera się na istnieniu problemów w PSPACE, których rozwiązanie wydaje się wymagać więcej niż czasu wielomianowego, mimo że można je rozwiązać za pomocą przestrzeni wielomianowej.

Jednym z kanonicznych przykładów problemu w PSPACE, o którym nie wiadomo, że występuje w NP, jest problem ilościowej formuły logicznej (QBF). QBF jest uogólnieniem problemu spełnialności logicznej (SAT), który jest NP-zupełny. Podczas gdy SAT zadaje pytanie, czy istnieje przypisanie wartości prawdy do zmiennych, które sprawia, że ​​dana formuła boolowska jest prawdziwa, QBF obejmuje zagnieżdżone kwantyfikatory na zmiennych, takie jak „dla każdego x istnieje taki, że wzór jest prawdziwy”. Obecność tych kwantyfikatorów sprawia, że ​​QBF jest znacznie bardziej złożony. QBF jest kompletny w PSPACE, co oznacza, że ​​jest tak samo trudny jak każdy problem w PSPACE. Gdyby istniał algorytm NP dla QBF, oznaczałoby to, że NP równa się PSPACE, a wynik byłby przełomowy i jest powszechnie uważany za mało prawdopodobny.

Innym ilustrującym przykładem jest problem ustalenia zwycięzcy w uogólnionych grach, takich jak uogólnione wersje szachów lub Go, rozgrywanych na planszy N x N. Problemy te obejmują potencjalnie wykładniczą liczbę ruchów i konfiguracji, ale można je rozwiązać za pomocą przestrzeni wielomianowej, systematycznie badając wszystkie możliwe stany gry. Problemy te są również kompletne w PSPACE, co dodatkowo sugeruje istnienie problemów w PSPACE, których nie ma w NP.

Aby głębiej zagłębić się w to, dlaczego uważa się, że pewne problemy w PSPACE znajdują się poza NP, rozważ naturę obliczeń ograniczonych przestrzennie i ograniczonych czasowo. Przestrzeń wielomianowa pozwala na potencjalnie wykładniczą liczbę kroków obliczeniowych, o ile używana przestrzeń pozostaje ograniczona wielomianem. Stanowi to wyraźny kontrast w stosunku do NP, gdzie czas jest ograniczony wielomianowo. Czas wykładniczy, na jaki pozwala przestrzeń wielomianowa, można wykorzystać do rozwiązywania problemów wymagających wyczerpujących przeszukiwań w wykładniczo dużych przestrzeniach, takich jak te spotykane w QBF i grach uogólnionych.

Co więcej, istnieją skomplikowane konstrukcje teoretyczne, które dodatkowo potwierdzają rozróżnienie między PSPACE i NP. Na przykład koncepcja przemienności wprowadzona przez Chandrę, Kozena i Stockmeyera uogólnia niedeterminizm i prowadzi do klasy AP (czas wielomianu przemiennego). Wykazano, że AP równa się PSPACE, co zapewnia inne spojrzenie na moc obliczeń przestrzeni wielomianowej. Alternacja obejmuje sekwencję kwantyfikatorów egzystencjalnych i uniwersalnych, odzwierciedlającą strukturę QBF i ukazuje złożoność nieodłącznie związaną z problemami PSPACE.

Warto również zauważyć, że rozdzielenie klas złożoności jest zasadniczym pytaniem otwartym w informatyce teoretycznej. Słynny problem P vs NP jest szczególnym przypadkiem tego szerszego badania. Podobnie kwestia, czy NP równa się PSPACE, pozostaje nierozwiązana. Jednakże konsensus w tej dziedzinie, oparty na szeroko zakrojonych badaniach i naturze znanych problemów, jest taki, że PSPACE prawdopodobnie zawiera problemy, których nie ma w NP.

Istnienie problemów w PSPACE, dla których nie jest znany algorytm NP, potwierdzają definicje i relacje między tymi klasami złożoności, a także konkretne przykłady, takie jak QBF i uogólnione problemy gier. Przykłady te podkreślają skomplikowane i potencjalnie wykładnicze procesy obliczeniowe, którymi można zarządzać w przestrzeni wielomianowej, ale jest mało prawdopodobne, aby ograniczały się do czasu wielomianowego, co umieszcza je poza sferą NP.

Inne niedawne pytania i odpowiedzi dotyczące Złożoność:

Zobacz więcej pytań i odpowiedzi w sekcji Złożoność

Więcej pytań i odpowiedzi:

Tagged under: , , , , ,