Czy problem może należeć do klasy złożoności NP, jeśli istnieje niedeterministyczna maszyna Turinga, która rozwiąże go w czasie wielomianowym
Pytanie „Czy problem może należeć do klasy złożoności NP, jeśli istnieje niedeterministyczna maszyna Turinga, która rozwiąże go w czasie wielomianowym?” porusza podstawowe pojęcia teorii złożoności obliczeniowej. Aby kompleksowo odpowiedzieć na to pytanie, musimy rozważyć definicje i cechy klasy złożoności NP oraz rolę niedeterministycznych maszyn Turinga (NDTM).
Definicja N.P
Klasa NP (niedeterministyczny czas wielomianowy) składa się z problemów decyzyjnych, dla których dane rozwiązanie można zweryfikować jako poprawne lub niepoprawne w czasie wielomianowym za pomocą deterministycznej maszyny Turinga (DTM). Formalnie problem decyzyjny występuje w NP, jeśli istnieje algorytm weryfikacji w czasie wielomianowym, który może zweryfikować poprawność danego certyfikatu (lub świadka) dla instancji problemu.
Niedeterministyczne maszyny Turinga
Niedeterministyczna maszyna Turinga to teoretyczny model obliczeń, który rozszerza możliwości deterministycznej maszyny Turinga. W przeciwieństwie do DTM, który podąża pojedynczą ścieżką obliczeniową zdefiniowaną przez funkcję przejścia, NDTM może jednocześnie realizować wiele ścieżek obliczeniowych. Na każdym etapie NDTM może „wybierać” spośród zestawu możliwych przejść, efektywnie badając wiele możliwych obliczeń równolegle.
Rozwiązywalność wielomianowa w czasie według NDTM
Mówi się, że problem można rozwiązać za pomocą NDTM w czasie wielomianowym, jeśli istnieje niedeterministyczny algorytm, który może znaleźć rozwiązanie problemu w liczbie kroków, które są wielomianowe pod względem wielkości wejściowej. Oznacza to, że dla każdego przypadku problemu NDTM może zbadać ścieżkę obliczeniową prowadzącą do rozwiązania w czasie wielomianowym.
Związek między NP i NDTM
Klasę NP można równoważnie zdefiniować w kategoriach NDTM. W szczególności problem decyzyjny występuje w NP wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje NDTM, który może rozwiązać problem w czasie wielomianowym. Ta równoważność wynika z faktu, że NDTM może odgadnąć certyfikat w sposób niedeterministyczny, a następnie zweryfikować go deterministycznie w czasie wielomianowym.
Aby zilustrować to na przykładzie, rozważmy dobrze znany problem NP-zupełny, problem spełnialności logicznej (SAT). Mając formułę boolowską w koniunkcyjnej postaci normalnej (CNF), zadaniem jest ustalenie, czy istnieje przypisanie wartości logicznych do zmiennych, które czynią tę formułę prawdziwą. NDTM może rozwiązać SAT w czasie wielomianowym, niedeterministycznie odgadując przypisanie wartości prawdziwych, a następnie deterministycznie sprawdzając, czy przypisanie spełnia wzór. Etap weryfikacji polegający na ocenie wzoru w ramach odgadniętego przypisania można przeprowadzić w czasie wielomianowym.
Implikacje rozwiązania wielomianowego w czasie za pomocą NDTM
Biorąc pod uwagę powyższe definicje i równoważność między NP a rozwiązywalnością w czasie wielomianowym przez NDTM, możemy stwierdzić, że jeśli istnieje NDTM, który rozwiązuje problem w czasie wielomianowym, to rzeczywiście problem dotyczy NP. Dzieje się tak, ponieważ istnienie takiego NDTM implikuje, że dla problemu istnieje algorytm weryfikacji w czasie wielomianowym. Faza niedeterministycznego zgadywania w NDTM odpowiada generowaniu certyfikatu, a faza weryfikacji deterministycznej odpowiada algorytmowi weryfikacji w czasie wielomianowym.
Dalsze rozważania i przykłady
Aby dokładniej wyjaśnić tę koncepcję, rozważmy dodatkowe przykłady problemów w NP i ich związek z NDTM:
1. Problem ścieżki Hamiltona: Biorąc pod uwagę graf, problem ścieżki Hamiltona pyta, czy istnieje ścieżka, która odwiedza każdy wierzchołek dokładnie raz. NDTM może rozwiązać ten problem w czasie wielomianowym poprzez niedeterministyczne odgadnięcie sekwencji wierzchołków, a następnie sprawdzenie, czy sekwencja tworzy prawidłową ścieżkę Hamiltona. Etap weryfikacji polega na sprawdzeniu sąsiedztwa kolejnych wierzchołków i upewnieniu się, że każdy wierzchołek zostanie odwiedzony dokładnie raz, przy czym oba te działania można wykonać w czasie wielomianowym.
2. Problem z sumą podzbiorów: Biorąc pod uwagę zbiór liczb całkowitych i sumę docelową, problem Suma podzbioru pyta, czy istnieje podzbiór liczb całkowitych, które sumują się do wartości docelowej. NDTM może rozwiązać ten problem w czasie wielomianowym poprzez niedeterministyczne odgadnięcie podzbioru liczb całkowitych, a następnie sprawdzenie, czy suma podzbioru jest równa wartości docelowej. Etap weryfikacji polega na zsumowaniu elementów odgadniętego podzbioru, co można przeprowadzić w czasie wielomianowym.
3. Problem z kolorowaniem wykresów: Biorąc pod uwagę graf i liczbę kolorów, problem kolorowania grafów pyta, czy możliwe jest pokolorowanie wierzchołków grafu w taki sposób, aby żadne dwa sąsiednie wierzchołki nie miały tego samego koloru. NDTM może rozwiązać ten problem w czasie wielomianowym, niedeterministycznie przypisując kolory wierzchołkom, a następnie sprawdzając, czy kolorowanie jest prawidłowe. Etap weryfikacji polega na sprawdzeniu kolorów sąsiednich wierzchołków, co można przeprowadzić w czasie wielomianowym.
Podsumowanie
W świetle podanych definicji i przykładów jasne jest, że problem rzeczywiście może należeć do klasy złożoności NP, jeśli istnieje niedeterministyczna maszyna Turinga, która rozwiąże go w czasie wielomianowym. Zależność ta jest kamieniem węgielnym teorii złożoności obliczeniowej i podkreśla równoważność między rozwiązaniem wielomianu w czasie przez NDTM a przynależnością do klasy NP.
Inne niedawne pytania i odpowiedzi dotyczące Złożoność:
- Czy klasa PSPACE nie jest równa klasie EXPSPACE?
- Czy klasa złożoności P jest podzbiorem klasy PSPACE?
- Czy możemy udowodnić, że klasy Np i P są takie same, znajdując efektywne rozwiązanie wielomianowe dla dowolnego problemu zupełnego NP w deterministycznej TM?
- Czy klasa NP może być równa klasie EXPTIME?
- Czy w PSPACE występują problemy, dla których nie jest znany algorytm NP?
- Czy problem SAT może być problemem NP-zupełnym?
- NP to klasa języków, które mają wielomianowe weryfikatory czasu
- Czy P i NP to w rzeczywistości ta sama klasa złożoności?
- Czy każdy język bezkontekstowy jest w klasie złożoności P?
- Czy istnieje sprzeczność pomiędzy definicją NP jako klasy problemów decyzyjnych z weryfikatorami wielomianowymi a faktem, że problemy w klasie P również posiadają weryfikatory wielomianowe?
Zobacz więcej pytań i odpowiedzi w sekcji Złożoność